
\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% Use utf-8 encoding for foreign characters
\usepackage[utf8]{inputenc}

%Babel
\usepackage[american, russian]{babel}


% \usepackage{hyperref}

% For fullpage
\usepackage{fullpage}

\usepackage{wrapfig}

% Uncomment some of the following if you use the features
%
% Running Headers and footers
%\usepackage{fancyhdr}

% Multipart figures
%\usepackage{subfigure}

% More symbols
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}

%Theorem
\usepackage{amsthm}

% Surround parts of graphics with box
%\usepackage{boxedminipage}

% Package for including code in the document
%\usepackage{listings}

%Add indented line
\usepackage{indentfirst}

% If you want to generate a toc for each chapter (use with book)
%\usepackage{minitoc}

%For color text
\usepackage{color}


% This is now the recommended way for checking for PDFLaTeX:
\usepackage{ifpdf}


%\newif\ifpdf
%\ifx\pdfoutput\undefined
%\pdffalse % we are not running PDFLaTeX
%\else
%\pdfoutput=1 % we are running PDFLaTeX
%\pdftrue
%\fi



\ifpdf
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\else
\usepackage{graphicx}
\fi


\begin{document}
	
	
\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Третий тур. Лига А}

\medskip

1. В ста ящиках находятся спички: в первом --- одна, во втором --- две, \dots,  в~сотом --- сто. 
Двое игроков по очереди берут по две спички, каждый раз --- из двух различных ящиков. 
Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре и как он для этого должен играть?

2. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно. На стороне $AC$ отметили точки $L$ и $K$, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что $BM=BN=AL=LK=KC=1$ и лучи $LB$ и $KB$ --- биссектрисы углов $MLN$ и $MKN$ соответственно. Найдите длины сторон треугольника $ABC$. \textit{(Р. Г. Женодаров)}

3. Обозначим через $M_n$ множество всех целочисленных пар $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению $x^2+xy+2y^2=n$. Докажите, что $\displaystyle_{(x;y)\in M_n}(2xy+y^2)=0$.

4. Для произвольного треугольника $ABC$ и для произвольной тройки чисел $(x; y; z)$ назовем их согласованностью количество различных точек $M$ плоскости треугольника $ABC$, таких, что тройка расстояний $(MA; MB; MC)$ является перестановкой тройки $(x; y; z)$. Какие значения может принимать эта величина?

5. Секретный объект представляет собой в плане квадрат $8\times8$, разбитый коридорами на квадратики $1\times1$. В каждой вершине такого квадратика --- выключатель. Щелчок выключателя действует сразу на все выходящие из этой вершины метровые коридоры, меняя их освещенности на противоположные. Сторож находится в углу полностью неосвещенного объекта. Он может ходить только по освещенным коридорам и щелкать выключателями любое число раз. Может ли сторож добиться того, чтобы от любого выключателя к любому другому он мог пройти, не щелкая выключателями?

6. Какое наибольшее число диагоналей можно провести в выпуклом $n$-угольнике так, чтобы каждая из них пересекалась внутри $n$-угольника не более, чем с одной другой? \textit{(А. В. Шаповалов)}

7. Паук соединил связной паутиной все восемь углов комнаты $3\times3\times3$. Может ли общая длина паутины быть меньше $19$? \textit{(С. Г. Волченков)}

8. Квадратный трехчлен $f(x) = ax^2 + bx + c$ с целыми коэффициентами обладает таким свойством: для любого натурального $m$ найдется натуральное $x$ такое, что $f(x)$ делится на $m$. Докажите, что корни $f(x)$ рациональны. \textit{(М. Г. Лепчинский)}

9. На встречу глав государств прибыли $N\geqslant4$ президентов, каждый из которых знает только один язык. Организаторы встречи так обучили $N$ переводчиков, что каждый из них знает три языка и при любой рассадке президентов за круглым столом можно так рассадить переводчиков между ними, чтобы все президенты смогли общаться со своими ближайшими соседями через сидящего между ними переводчика. Сколько президентов могло быть на встрече? \textit{(С. Г. Волченков)}

10. Докажите, что всякое натуральное число может быть представлено в виде отношения двух натуральных чисел, в записи каждого из которых встречаются подряд цифры $1997$. \textit{(А.В.Шаповалов)}


\newpage

\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Третий тур. Лига Б}

1. Пять прямых, являющихся графиками функций $y=a_ix+b_i$ ($1\leqslant i\leqslant5$), где не все $b_i$ одинаковы, имеют общую точку. Докажите, что пять прямых $y=b_ix+a_i$ также имеют общую точку.

2. В поход собрались туристы и инструкторы (конечно же, туристов больше). Каждый турист взял с собой по пять лыжных палок и совсем не брал рукавиц, а каждый инструктор взял лишь по две лыжных палки, но зато также взял по семь рукавиц. Оказалось, что общее количество лыжных палок на столько же превосходит общее количество рукавиц, на сколько процентов туристов больше, чем инструкторов. Сколько инструкторов собралось в поход?

3. По кругу в некотором порядке выписали все натуральные числа от $1$ до $1000$, каждое --- ровно один раз. Одновременно для каждого числа подсчитали сумму трех следующих за ним по ходу часовой стрелки и результат записали вместо исходного числа. Может ли оказаться, что все получившиеся числа, кроме не более чем десяти из них, кратны $5$?

4. Для какого наименьшего $n > 1$ можно разрезать квадрат ровно на n попарно различных подобных прямоугольников?

5. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно. На стороне $AC$ отметили точки $L$ и $K$, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что $BM=BN=AL=LK=KC=1$ и лучи $LB$ и $KB$ --- биссектрисы углов $MLN$ и $MKN$ соответственно. Найдите длины сторон треугольника $ABC$. \textit{(Р. Г. Женодаров)}

6. Над строкой чисел можно производить следующие операции: стереть все числа, стоящие на четных местах, или стереть все числа, стоящие на нечетных местах (после каждой такой операции места нумеруются заново). Над строкой $1$, $2$, \dots, $1997$ последовательно выполняют эти операции до тех пор, пока не останется ровно два числа. Могут ли они оба делиться на $13$?

7. В Зурбагане сеть железных дорог устроена следующим образом: все города стоят на кольце, кроме того, столица соединена отдельными ветками с каждым из городов, кроме соседей по кольцу. Правительство Зурбагана разбило сеть на участки между соседними городами и постановило разделить эти участки между двумя компаниями так, чтобы можно было проехать между любыми двумя городами как по дорогам только первой компании, так и по дорогам только второй компании. Может ли это постановление быть выполнено? \textit{(А. В. Шаповалов)}

8. В ста ящиках находятся спички: в первом --- одна, во втором --- две, \dots, в сотом --- сто. Двое игроков по очереди берут по две спички, каждый раз --- из двух различных ящиков. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре и как он для этого должен играть?

9. Можно ли равносторонний треугольник со стороной $9$ \textit{см} разрезать на два треугольника, периметры которых равны $20$ \textit{см} и $23$ \textit{см}?

10. Вершины семиугольника лежат в узлах целочисленной решетки со стороной $1$ \textit{м}, а длины его сторон равны $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ и $7$ метров (в некотором порядке). Какую наибольшую площадь может иметь этот семиугольник?


\newpage

\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Третий тур. Лига В}

1. Пять прямых, являющихся графиками функций $y=a_ix+b_i$ ($1\leqslant i\leqslant5$), где не все $b_i$ одинаковы, имеют общую точку. Докажите, что пять прямых $y=b_ix+a_i$ также имеют общую точку.

2. Докажите, что количество способов разбить доску $8\times8$ на прямоугольники $1\times2$ превосходит $2^20$.

3. По кругу в некотором порядке выписали все натуральные числа от $1$ до $1000$, каждое --- ровно один раз. Одновременно для каждого числа подсчитали сумму трех следующих за ним по ходу часовой стрелки и результат записали вместо исходного числа. Может ли оказаться, что все получившиеся числа, кроме не более чем десяти из них, кратны $5$?

4. Для какого наименьшего $n > 1$ можно разрезать квадрат ровно на n попарно различных подобных прямоугольников?

5. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно. На стороне $AC$ отметили точки $L$ и $K$, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что $BM=BN=AL=LK=KC=1$ и лучи $LB$ и $KB$ --- биссектрисы углов $MLN$ и $MKN$ соответственно. Найдите длины сторон треугольника $ABC$.

6. Над строкой чисел можно производить следующие операции: стереть все числа, стоящие на четных местах, или стереть все числа, стоящие на нечетных местах (после каждой такой операции места нумеруются заново). Над строкой $1$, $2$, \dots, $1997$ последовательно выполняют эти операции до тех пор, пока не останется ровно два числа. Могут ли они оба делиться на $13$?

7. В Зурбагане сеть железных дорог устроена следующим образом: все города стоят на кольце, кроме того, столица соединена отдельными ветками с каждым из городов, кроме соседей по кольцу. Правительство Зурбагана разбило сеть на участки между соседними городами и постановило разделить эти участки между двумя компаниями так, чтобы можно было проехать между любыми двумя городами как по дорогам только первой компании, так и по дорогам только второй компании. Может ли это постановление быть выполнено?

8. В ста ящиках находятся спички: в первом --- одна, во втором --- две, \dots, 
в сотом --- сто. Двое игроков по очереди берут по две спички, каждый раз --- из двух различных ящиков. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре и как он для этого должен играть?

9. Квадрат со стороной $11$ разбили на единичные квадратики. Какое наибольшее число прямоугольников $2\times4$ можно из него вырезать, если разрезы можно производить только по линиям сетки?

10. Вершины семиугольника лежат в узлах целочисленной решетки со стороной $1$ \textit{м}, а длины его сторон равны $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ и $7$ метров (в некотором порядке). Какую наибольшую площадь может иметь этот семиугольник?


\medskip





\end{document}
